Lista Exercícios Modelos Discretos

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Exercícios marcados com # valem 0,2 pontos.

(1) Experimentalmente constatou-se que 10% das peças produzidas por uma máquina apresentam defeitos. (a) Qual a probabilidade de que a 4a peça produzida num dia seja a 1a defeituosa? (b) Qual a probabilidade de que a 8a peça produzida num dia seja a 3a defeituosa? (c) Qual a probabilidde de que em 7 peças produzidas pela máquina existam exatamente 2 defeituoasas? (d) Se, de um lote com 200 peças, 25 das quais defeituosas, retirarmos uma amostra contendo 10 peças, qual a probabilidade de encontrarmos pelo menos 2 peças defeituosas?

(2) (Curso de Estatística - Gilberto Martins e Jairo Fonseca) Em 320 famílias, cada qual com 4 crianças, em quantas espera-se encontrar (a) nenhuma menina? (b) três meninos?

(3)# O custo na confecção de um componente é $500. Supostamente pronto, faz-se um teste de resistência com o componente. Se ele resiste é dado por terminado o processo. Se ele não resiste de suas peças aproveita-se 40% dos rolos ($200). Repete-se a construção e o teste até que o componente resista (sucesso). Se a probabilidade p, de êxito numa tentativa, é 0,3, determine o custo esperado do componente.

(4) Lança-se um dado até sair 1 ou 6. Qual a probabilidade de que tal evento só ocorra no 4o lançamento?

(5)# Cerca de 40% dos seres humanos tem sangue do tipo A. Qual a probabilidade de que em 8 indivíduos escolhidos ao acaso existam (a) pelo menos dosi com sangue tipo A? (b) no mínimo 3 que não sejam do tipo A? no máximo seis com sangue tipo A? (d) Qual o número esperado de indivíduos com sangue tipo A?

(6) Ao término de cada dia inspeciona-se uma determinada peça de uma máquina para verificar se atende as especificações técnicas. Se a probabilidade p da peça estar em condições de trabalho é 0,92, determine a probabilidade de que a primeira falha ocorra no 5o dia de inspeção.

(7) Numa cidade com 10.000 eleitores 10% são favoráveis ao candidato Y. Se retirarmos uma amostra com 10 eleitores desta cidade, qual a probabilidade de encontrarmos ao menos 2 eleitores deste candidato? Resolva o problema quando a amostra é obtida (a) com reposição (b) sem reposição.

(8) Se sortearmos aleatoriamente um grupo de 500 pessoas, qual a probabilidade de que exatamente r dessas pessoas façam aniversário no dia 22 de setembro? Resolva o problema para r de 0 até 3.

(9)# Formando-se aleatoriamente 100 pares ordenados de dígitos, quantas vezes você espera encontrar (a) o par (1,1)? (b) um par de dígitos idênticos quaisquer?

(10) Se numa cidade com 20.000 habitantes ocorre em média 0,9 suicídios por ano, qual a probabilidade de que numa cidade com 30.000 habitantes, com idênticas características sociais, não haja suicídio algum durante um ano?

(11) Os defeitos numa fita de aço aparecem segundo as hipóteses de Poisson a razão de um defeito, em média, a cada 20 m. Estas fitas são vendidas em rolos de 5 m que custam $ 300. Os rolos sem defeito algum são vendidos a $800, os rolos com apenas um defeito são vendidos por $500 e os com mais de um defeito vão para a sucata. Qual o lucro esperado na produção de 50 rolos destes?

(12)# (Estatística Básica. Luiz Gonzaga Morettin) Uma fábrica produz isoladores de alta tensão que são classificados como bons e ruins de acordo com um teste padrão. Da produção de um dia retiram-se 10 isoladores que no laboratório se apresentam como sendo 8 bons e 2 ruins. Pede-se para calcular a probabilidade deste resultado, admitindo-se que a máquina produza em média (a) 95% de bons e 5% de ruins (b) 90% de bons e 10% de ruins.

(13)# Suponha que numa população muito grande a proporção p de indivíduos com determinada doença seja muito pequena, digamos p = 0,001. Dada uma amostra com n elementos (obtida sem reposiçao), seja X o número de indivíduos com essa doença na amostra (a) qual a natureza da variável X? (b) qual deve ser o valor mínimo de n para que tenhamos uma probabilidade de pelo menos 90% de encontrarmos pelo menos um indivíduo doente na amostra?

(14)# O número de partículas emitidas por certa fonte radioativa, durante um período de tempo t, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se a probabilidade de não haver emissões é 1/3, qual a probabilidade de que 2 ou mais emissões ocorram no mesmo período de tempo t?

(15) Uma substância radioativa emite partículas alfa. O número de partículas que atingem determinada região do espaço, durante um tempo t, é um dos exemplos mais conhecidos de um experimento aleatório que obedece as hipóteses de Poisson. É claro que a substância está num processo contínuo de desintegração e, a longo prazo a densidade das partículas irá diminuir. Entretanto, com o rádio, por exemplo, passarão anos até que um decréscimo da matéria seja detectado. Para períodos de tempo relativamente curtos as condições podem ser consideradas constantes e temos uma situação ideal em que se verificam as hipóteses que nos conduzem a distribuição de Poisson. Suponha que uma substância radioativa emite em média 3 partículas alfa a cada 11 segundos e que um contador pode contar até duas partículas num período de 5 segundos. Suponha ainda que o experimento "contar as partículas alfa emitidas pela substância, durante um intervalo de 5 segundos", seja repetido 200 vezes. (a) quantas vezes você espera que o número de partículas alfa emitidas será superior a 2? (b) quantas vezes você espera que o número de partículas alfa emitdas será igual a 1? (c) Qual o número esperado total de partículas alfa emitidas (nos 1000 segundos observados)? (d) qual o número espeardo total de partículas alfa contadas (nos 1000 segundos observados)? (e) qual o número mais provável de partículas alfa emitidas num certo experimento?

(16) Com relação ao problema anterior, em 8 repetições do experimento, qual a probabilidade de que (a) exatamente 3 vezes não ocorra emissão alguma? (b) pelo menos uma vez ocorra alguma emissão? (c) no máximo 6 vezes não ocorra emissão alguma?

(17)# Experimentalmente constatou-se que as chegadas de casos de emergência num pronto socorro obedecem uma distribuição de Poisson. Se ocorrem em média 3 casos de urgência a cada 2 dias e se as instalações do pronto socorro permitem atender no máximo 2 casos de urgência por dia, calcule (a) a probabilidade de não ser possível atender um caso de urgência por não haver disponibilidade de instalações, num dia. (b) quantos casos de urgência as instalações deveriam permitir atender por dia, para que em 95% dos dias se possa atender todos os casos de urgência que aparecerem? (c) o número médio de chegadas de casos de urgência por dia. (d) o número médio de atendimentos de casos de urgência por dia. (e) o número médio de casos de urgência rejeitados por dia.

(18)# Determine o número mínimo de vezes que devemos lançar um dado babalanceado, a fim de que a face 1 ocorra pelo menos uma vez com uma probabilidade mínima de 99%.

(19)# (Cálculo de Probabilidade - Dentscher Verlag der Wissenchaft, Berlim, 1962) Na fabricação de garrafas de vidro, partículas pequenas e duras são encontradas no vidro em fusão, com o qual se fabricam as garrafas. Se uma única partícula dessas aparece na garrafa, a garrafa não pode ser utilizada e deve ser jogada fora. Pode-se admitir que as partículas estejam aleatoriamente distribuídas no vidro em fusão. Suponha que em 100 Kg de vidro em fusão sejam encontradas r dessas partículas e que seja necessário 1 Kg de vidro em fusão para fabricar uma garrafa. Que porcentagem das garrafas terá de ser jogada fora pelo fato de serem defeituosas se (a) r = 100? (b) r = 80? (c) r = 10?

(20)# As instalações de um porto permitem aportar, por dia, dois navios. Neste porto chegam em média 1,8 navios por dia, e as chegadas obedecem as hipóteses de Poisson. O custo para se aumentar as instalações para se poder atender mais um navio por dia é $20.000. As instalações ó serão aumentadas caso o investimento de $20.000 for recuperado em 730 dias (dois anos aproximadamente), com o lucro aferido com esta instalação adicional. Com base nestes dados deve-se ou não efetuar esta ampliação, sabendo-se que o lucro obtido por cada navio que aporta é $90?

(21)# (Probabilidade - Aplicações à Estatística - Paul L. Meyer) Um fabricante de filmes produz 10 rolos de um filme especialmente sensível a cada ano. Se o filme não for vendido dentro do ano, ele deve ser refugado. A experiência passada diz que P, a pequena distribuição de Poisson, com parâmetro \lambda = 8. Se o lucro de $ 7 for obtido para cada rolo vendido, enquanto um prejuízo de $ 3 é verificado para cada rolo refugado, calcule o lucro esperado que o fabricante poderá realizar com os 10 rolos que ele produz.

(22)# Se os acidentes de trabalho numa fábrica ocorrem segundo as hipóteses de Poisson, com uma média de 0,8 acidentes por mês, qual a probabilidade de que dos 12 meses de um ano haja pelo menos 10 meses sem acidente algum?

(23)# Suponha que uma doença que ataca o gado tenha uma incidência de 25%. Com o intuito de testar um soro recém descoberto, injetamo-no em 15 animais sadios. Posteriormente, constatou-se que nenhum desses animais ficou contaminado. Podemos considerar isso como uma indicação de que o soro teve algum efeito, embora esse resultado não constitua prova conclusiva?

(24)# Os defeitos numa fita de aço aparecem segundo as hipóteses de Poisson com \lambda = 1/8 metros. Estas fitas são vendidas em rolos de 4m que são classificadas como tipo A se não tiverem defeitos e como tipo B caso contrário. (a) num lote contendo 8 rolos destes, qual a probabilidade de haver no máximo 5 rolos tipo A? Qual o número esperado de valor tipo B? (b) Se uma série de rolos será examinada até se descobrir um rolo tipo A, qual a probabilidade de serem necessários pelo menos 3 inspeções? (c) Se uma série de rolos será examinada até se obter 4 rolos tipo A, qual o número esperado de inspeções necessárias?

(25)# Ainda em relação a fita do problema anterior, desejamos obter t metros de fita, escolhidos aleatoriamente, de modo que a probabilidade de se encontrar algum defeito nestes t metros seja de apenas 5%. Calcule o valor de t.

(26)# Suponha que as chegadas de casos de enfarte do miocárdio num hospital satisfaçam as hipóteses de Poisson, sendo que em média há um caso a cada dois dias. Se 10 dias consecutivos forem observados, qual (a) a probabilidade de que em exatamente 6 destes dias não ocorra caso algum de enfarte do miocárdio? (b) o número esperado de dias em que não chega paciente algum com enfarte? (c) o número esperado de chegadas de casos de enfarte?

(27) NA

(28) Famílias com 5 filhos serão sucessivamente pesquisadas até se descobrir 4 famílias com exatamente 3 meninas. Qual a probabilidade de termos que pesquisar pelo menos 7 famílias?

(29) Durante uma partida de War um jogador, aluno de Estatística da Unicapital, precisa conquistar a Oceania mais 20 terrritórios a sua escolha. Num determinado momento, ele sofre um terrível ataque do seu colega, estudante de Sistemas de Informação. O estudante de sistemas joga os dados e tira 6, 6 e 5, sendo assim a única chance do estudante de estatística de manter seu território é tirar 3 dados com 6. (a) Qual a chance que ele tem de sair ileso desse ataque? Qual seria a probabilidade de sair ileso caso ele pudesse obter: (b) cada um dos 3 dados com 5 ou 6? (c) pelo menos um dado com 6?

Respostas:

1a 7,29% b 1,24% c 12,4% d 36,23%

2a 20 b 80

3 $1200

4 9,88%

5a 89,36% b 95,02% c 99,15% d 3,2

6 5,73%

7a 26,390107% b 26,388166%

8a 25,36% b 34,84% c 23,88% d 10,89%

9a 1 vez b 10 vezes

10 25,92%

11 $21019,54

12a 7,46% b 19,37%

13a Hipergeométrica b 2302

14 30,05%

15a 31,56 b 69,74 c 272,72 d 227,96 e 1

16a 21,39% b 100% c 99,96%

17a 19,12% b 4 c 1,5 d 1,22 e 0,28

18 26

19a 63,2% b 55,25% c 9,56%

20 Não, pois serão 197 navios, com lucro de $ 17.700

21 $45,74

22 0,7773%

23 Tem efeito, acaso: 1,34%

24a 67,08% b 15,48% c 6,59

25 0,41m

26a 25,06% b 6,07 c 5

27 NA

28 91,92%

29 a 0,462963% b 3,7% c 42,12963%